Himpuanan Bilangan Real

Bilangan Real (Nyata) 

Bilangan riil atau bilangan real dalam matematika menyatakan bilangan yang bisa dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2,4871773339… atau 3,25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π dan ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$. Bilangan riil juga dapat dilambangkan sebagai salah satu titik dalam garis bilangan.^[1]

Definisi popular dari bilangan real meliputi klas ekuivalen dari deret Cauchy rasional, irisan Dedekind, dan deret Archimides.

Bilangan riil ini berbeda dengan bilangan kompleks yang termasuk di dalamnya adalah bilangan imajiner.

Bilangan riil dapat dipahami sebagai titik-titik garis bilangan yang panjangnya tak terhingga.

Pemerian bilangan riil tersebut tidak cukup ketat menurut ukuran modern matematika murni. Penemuan suatu definisi bilangan riil yang cukup ketat - dengan realisasi bahwa dibutuhkan definisi yang lebih baik - merupakan salah satu perkembangan matematika terpenting pada abad ke-19. Definisi aksiomatik standar yang ada sekarang menyatakan bahwa bilangan riil membentuk bidang Archimedes unik yang keseluruhannya teratur lengkap (R ; + ; · ; <), sampai ke suatu isomorfisma,^[2] sedangkan definisi konstruktif populer dari bilangan riil meliputi pernyataan sebagai kelas-kelas ekuivalen dari deret Cauchy untuk bilangan rasional, irisan Dedekind, atau "lambang desimal" tak terhingga tertentu, bersama-sama dengan penafsiran tepat untuk operasi aritmetika dan relasi penataan. Definisi-definisi ini ekuivalen dalam dunia matematika klasik

Real-nya adalah terhitung; yaitu: meskipun himpunan dari semua bilangan asli dan himpunan semua bilangan real adalah himpunan tak hingga, tidak ada fungsi satu-ke-satu mondar-mandir: kardinalitas dari himpunan semua bilangan real (dilambangkan ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ dan disebut kardinalitas kontinum) secara ketat lebih besar dari kardinalitas himpunan semua bilangan asli (dilambangkan ${\displaystyle \aleph _{0}}$). Pernyataan bahwa tidak ada subset real dengan kardinalitas yang lebih besar dari ${\displaystyle \aleph _{0}}$ dan lebih kecil dari ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ dikenal sebagai hipotesis kontinum. Hal ini diketahui tidak dapat dibuktikan atau disangkal menggunakan aksioma teori himpunan Zermelo–Fraenkel, dasar standar matematika modern, asalkan teori himpunan ZF adalah konsistensi.

Sumber : Wikipedia